TVD remeshing formulas for particle methods

We derive TVD remeshing formulas for particle methods. The derivation is inspired from a finite-difference analysis but the method retains the essential features of particle methods. Numerical illustrations give evidence of the improved stability and computational cost resulting from these new algorithms. Résumé Schémas de remaillage TDV en méthodes particulaires. On décrit dans cette note des techniques de remaillage TVD pour les méthodes particulaires, en s’insipirant de la méthodologie différences finies. Des exemples numériques montrent les gains obtenus par ces nouveaux algorithmes tant en stabilité qu’en coût de calcul. Version française abrégée Méthodes particulaires avec remaillage Des techniques de remaillage sont souvent utilisées en conjonction avec les méthodes particulaires pour en garantir la précision. Si le remaillage est effectué à chaque pas de temps, on obtient des méthodes de différences finies. L’analyse conduite dans [2] montre que les méthodes particulaires peuvent alors être vues comme des généralisation sans condition CFL de schémas de différences finies multi-dimensionnels. Dans cette note nous poursuivons cette approche en empruntant aux méthodologies différences finies pour construire des méthodes particulaires TVD. D’une manière générale les formules de remaillage sont construites pour conserver autant de moments que voulus dans la distribution de particules. La formule générale conservant n moments, et utilisant n points de remaillage en 1D, conduit au schéma (4) (voir aussi la figure 1 pour n = 3). Dans le cas non-linéaire, il est démontré dans [2] que, pour obtenir l’ordre 2 en temps, il suffit d’évaluer la vitesse des particules grâce à la formule (5). La suite de la note concerne le schéma de remaillage dit Λ2, correspondant à n = 3. L’extension à des formules TVD ou préservant la monotonie d’ordre plus élevé pourra être trouvée dans la référence [3]. Email addresses: [email protected] (G.-H. Cottet), [email protected] (A. Magni). Preprint submitted to Elsevier Science 12 septembre 2008 Le cas linéaire Dans le cas linéaire, sous CFL inférieure à un, la formule (6) est équivalente au schéma de Lax-Wendroff. L’utilisation des limiteurs classiques dans ce contexte (voir par exemple [5]) conduit à la formule de remaillage modifiée (9). Le cas non-linéaire Dans le cas non linéaire, le traitement particulaire du flux écrit sous la forme g(u)u nécessite une analyse spécifique pour définir des limiteurs appropriés. En supposant g ≥ 0 et sous CFL 1 une méthode particulaire avec remaillage Λ2 peut se réécrire sous la forme incrémentale (12). Les calculs sont menés dans le cas de l’équation de Burgers, et permettent de définir de limiteurs à partir des formules (12)), (13). Le schéma de remaillage résultant est TVD sous CFL 2/3. Illustrations numériques et relaxation de la condition CFL On commence par un exemple dans le cas non-linéaire, pour l’équation de Burgers. La condition initiale est un créneau périodique qui engendre un choc et une détente se propageant vers la droite. La comparaison de la formule TVD avec le schéma Λ2 brut (figure 1) montre une nette amélioration à la fois dans résolution du choc et de la détente. On considère ensuite le cas du transport d’un scalaire passif dans un champ de vitesse incompressible. Cet exemple permet d’illustrer le passage au cas multi-dimensionnel, et comment relaxer la condition CFL. L’option choisie est une technique de splitting où les particules sont successivement poussées et remaillées dans chaque direction. Ce schéma n’est plus équivalent à un schéma de différences finies simple mais les limiteurs conservent sont caractère TVD. Pour s’affranchir de la condition CFL, une stratégie consiste à définir localement des vitesses uniformes dont ne diffère que de peu la vitesse réelle. La figure 2 est une comparaison entre un remaillage TVD Λ2 à 9 points et la formule à 16 points Λ3 souvent utilisée en pratique, dans la cas de la rotation dans une boite [−1,+1] d’un disque de rayon 0.1. Cette expérience, menée sous CFL4, met en évidence à la fois la meilleure qualité des résultats de la méthode TVD et le fait qu’elle génère beaucoup moins de particules, ce qui la rend plus économique.